최단 경로 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘을 의미한다.
다양한 문제 상황에서 사용
- 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
- 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
- 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
각 지점은 그래프에서 노드로 표현
지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현
다익스트라 최단경로 알고리즘
- 특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산한다.
- 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작함.
- 현실 세계의 도로(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않음
- 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류됨.
- 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복
다익스트라 알고리즘 동작 과정
- 출발 노드를 설정한다.
- 최단 거리 테이블을 초기화한다.
- 방문하지 않은 노드중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
- 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
- 위 과정에서 3번과 4번을 반복한다.
다익스트라 알고리즘의 특징
- 그리디 알고리즘: 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복함.
- 단계를 거치며 한번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 더 이상 바뀌지 않음
- 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있음
- 다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장됨
- 완벽한 형태의 최단 경로를 구하려면 소스코드에 추가적인 기능을 더 넣어야함.
다익스트라 알고리즘- 간단한 구현 방법
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)
#노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n , m = map(int, input().split())
#시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
#방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n+1)
#최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)
#모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
#a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b,c))
#방문하지 않은 노드중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
min_value = INF
index = 0 #가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
for i in range(1, n+1):
if distance[i] < min_value and not visited[i]:
min_value = distance[i]
index = i
return index
def dijkstra(start):
#시작 노드에 대해서 초기화
distane[start] = 0
visited[start] = True
for j in graph[start]:
distance[j[0]] = j[1]
#시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
for i in range(n-1):
#현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
now = get_smallest_node()
visited[now]= True
#현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
for j in graph[now]:
cost = distance[npw] + j[1]
#현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[j[0]]:
distance[j[0]] = cost
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
#모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
#도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if distance[i] == INF:
print("INFINITY")
#도달 할 수 잇는 경우 거리를 출력
else:
print(distance[i])
성능 분석
- 총 O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색 해야한다.(V는 노드 갯수)
- 따라서 전체 시간 복잡도는 O(V^2)
- 일반적으로 코딩 테스트의 최단 경로 문제에서 전체 노드의 개수가 5,000개 이하일때 위 코드로 해결 가능
우선순위 큐
- 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조
힙
- 우선순위 큐를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나
- 다익스트라 최단 경로 알고리즘을 포함해 다양한 알고리즘에서 사용됨
- O(logN) 시간 복잡도
최소힙
import heapq
#오름차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
h = []
result = []
#모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
for value in iterable:
heapq.heappush(h, value)
#힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
for i in range(len(h)):
result.append(heapq.heappop(h))
return result
result = heapsort([1,3,5,7,9,2,4,6,8,0])
print(result)
#실행 결과 : [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9]최대힙
import heapq
#내림차순 힙 정렬(heap Sort)
def heapsort(iterable):
h = []
result = []
# 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
for value in iterable:
heapq.heappush(h, -value)
#힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
for i in range(len(h)):
result.append(-heapq.heappop(h))
return result
result = heapsort([1,3,5,7,9,2,4,6,8,0])
print(result)
#실행 결과 [9,,8,7,6,5,4,3,2,1,0]
다익스트라 알고리즘: 개선된 구현방법
- 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙(heap)자료구조를 이용한다.
- 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일하다.
- 현재 가장 가까운 노드를 저장해놓기 위해서 힙 자료구조를 추가적으로 이용한다는 점이 다르다.
- 현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙을 사용한다.
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)
#노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n , m = map(int, input().split())
#시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
#최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)
#모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
#a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b,c))
def dijkstra(start):
q =[]
#시작 노드로 가기 위한 최단 거리는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
heapq.heappush(q, (0, start))
distane[start] = 0
while q: #큐가 비어있지 않다면
#가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
dist, now = heapq.heappop(q)
#현재 노드가 이미 처리된 적 있는 노드라면 무시
if distance[now] < dist:
continue
#현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1]
#현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q,(cost, i[0]))
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
#모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
#도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if distance[i] == INF:
print("INFINITY")
#도달 할 수 잇는 경우 거리를 출력
else:
print(distance[i])개선된 구현 방법 성능 분석
- 힙 자료구조를 이용하는 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 O(ElogV)이다.
- 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문(while문)은 노드의 개수 V이상의 횟수로는 처리되지 않는다.
- 결과적으로 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총횟수는 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있다.
- 직관적으로 전체 과정은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사
플로이드 워셜 알고리즘
- 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산한다.
- 플로이드 워셜 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다.
- 다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않다.
- 플로이드 워셜은 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장한다.
- 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍 유형에 속한다.
- 각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐가는 경우를 확인.
- a에서 b로 가는 최단 거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사한다.
- 점화식
- Dab = min(Dab, Dak + Dkb)
INF= int(1e9) #무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
#노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
#2차원 리스트(그래프 표현)을 만들고, 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)]
#자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n+1):
for b in range(1, n+1):
if a == b:
graph[a][b] = 0
#각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
#A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
a,b,c = map(int, input().split())
graph[a][b] = c
#점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n+1):
for a in range(1, n+1):
for b in range(1, n+1):
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k]+graph[k][b])
#수행된 결과를 출력
for a in range(1, n+1):
for b in range(1, n+1):
#도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)라고 출력
if graph[a][b] == INF:
print("INFINITY", end=" ")
#도달 할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(graph[a][b], end=" ")
print()성능 분석
- 노드의 개수가 N개일 때 알고리즘 상으로 N번의 단계를 수행
- 각 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐가는 모든 경로를 고려함
- 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총 시간 복잡도는 O(N^3)
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